Posted by: Alexandre Borovik | September 29, 2020

What is it about mathematics that may change your thoughts?

My answer on Quora:

What is it about mathematics that may change your thoughts?

At the level of school mathematics, I am afraid, nothing is likely to change your mind. Changes start when you master proof (this does not happen in school mathematics nowadays, and less and less features in the undergraduate university mathematics). Mastering proofs means being able to solve problems of that kind:

given a statement you have never seen before, prove it or construct a counterexample.

An example of this problem:

Part 1



\(11^2 = 121\)


\(111^2 = 12321\)


\(1111^2 = 1234321\)




You see a distinctive symmetric pattern. Will this pattern continue forever? Prove this or give an example of when pattern breaks.

Part 2.

\(1^2 = 1\)


\((1+x)^2 = 1+2x+x^2\)


\((1+x+x^2)^2 = 1+2x+3x^2+2x^3+x^4\)


\((1+x+x^2+x^3)^2 = 1+2x+3x^2+4x^3+3x^4+2x^5 + x^6\)




You see a similar symmetric pattern. Will this pattern continue forever? Prove this or give an example of when pattern breaks.

Part 3. If you got (and justified by proof or counterexample) different answers in Part 1 and 2, explain why.

Mastering this kind of thinking means that you learn to look at the both alternatives: true / false without knowing in advance which one is correct. This is a skill that most people are lacking in their real life problem solving, they concentrate only on one option. This deficiency of thinking leads them to chose one option on the basis of … well, frequently they cannot explain, if asked, on the basis of what. Quite frequently, their choice was made on the basis of their prejudices and preconceptions.

Posted by: Alexandre Borovik | September 4, 2020

The not so coded language of Ofstead

There is a peculiar estblishment in the administrative system of English school education, Ofsted. Its full name is the Office for Standards in Education, Children’s Services and Skills. It is a non-ministerial department of the UK government, reporting to Parliament (not to the Governement!). Ofsted is responsible for inspecting a range of educational institutions, including state schools and some independent schools. This is the only relatively independent part of the system; Ofsted inspectors are Her Majesty’s Inspectors. I had a chance to meet a few of them, and got great respect to them.

The not-so-coded language of Ofsted’s reports on particular schools (easily available on the Internet) appears to be directed at middle class parents. These examples are from 2017 — compare a few (state) schools in a big English city, just a mile away from each other:

School 1 [Ofsted’s assessment: Outstanding]: “Children enter the Reception classes with skills and abilities that are broadly as expected for their age. Excellent provision enables them to make very good progress and achieve in an outstanding manner. As a result, by the time they enter Year 1, standards are above average, and for a significant number of children they are exceptionally high. This is particularly the case in communication, language and literacy and in personal, social and emotional development…”

Translation of words “personal, social and emotional development”: children come from supportive well educated middle class families, and find in the school their tribe. What is behind the scene: the school is in (architectural) conservation area, parents pay through their noses for an address in the catchment area.

School 2 [Good]:
“Children enter the Nursery class with skills that are below those typically expected for their age, especially their mathematical, social and emotional skills.”

School 3 [Good]: “Pupils […] join Reception with communication and mathematics skills that are low for their age. They then make good progress and enter Year 1 at improved levels but which are still mostly below average.”

School 4 [Good]: “Pupils make good progress in Nursery and Reception from starting points which are below and sometimes well below expected levels. In most years, only half of the children reach the expected levels for their age by the end of the Reception Year.”

The reason of challenges School 4 is facing is explained in the Ofsted’s report: “The proportion supported through school action plus and with a statement of special educational needs is well above average.” “A well above-average proportion of the pupils are eligible for the pupil premium, which provides additional funding for children in local authority care and pupils known to be eligible for free school meals.” “A high number of pupils leave and join the school in all year groups at different times throughout the year.”

Intake makes all the difference, and, I conjecture, an increasing number of parents are desperate to stay above the educational waterline and are prepared to pay premium for an address in the catchment area of a desirable school . Pandemic should only increase the social differences in school education.

Posted by: Alexandre Borovik | April 23, 2020

Poems for Lockdown X: Александр Кушнер

Александр Кушнер

Сторожить молоко я поставлен тобой,
Потому что оно норовит убежать.
Умерев, как бы рад я минуте такой
Был: воскреснуть на миг, пригодиться опять.

Не зевай! Белой пеночке рыхлой служи,
В надувных, золотых пузырьках пустяку.
А глаголы, глаголы-то как хороши:
Сторожить, убежать, — относясь к молоку!

Эта жизнь, эта смерть, эта смертная грусть,
Прихотливая речь, сколько помню себя…
Не сердись: я задумаюсь — и спохвачусь.
Я из тех, кто был точен и зорок, любя.

Надувается, сердится, как же! пропасть
Так легко… столько всхлипов, и гневных гримас,
И припухлостей… пенная, белая страсть;
Как морская волна, окатившая нас.

Тоже, видимо, кто-то тогда начеку
Был… О, чудное это, слепое “чуть-чуть”,
Вскипятить, отпустить, удержать на бегу,
Захватить, погасить, перед этим — подуть.

Предложил Ю.Б.

от матфеа святое благовествование, Зачала 10-12

(Зачало 10)
И по нем идоша народи мнози от галилеи и десяти град, и от иерусалима и иудеи, и со онаго полу иордана.
Узрев же народы, взыде на гору: и седшу ему, приступиша к нему ученицы его.
И отверз уста своя, учаше их, глаголя:
блажени нищии духом: яко тех есть царствие небесное.
блажени плачущии: яко тии утешатся.
блажени кротцыи: яко тии наследят землю.
блажени алчущии и жаждущии правды: яко тии насытятся.
блажени милостивии: яко тии помиловани будут.
блажени честии сердцем: яко тии бога узрят.
блажени миротворцы: яко тии сынове божии нарекутся.
блажени изгнани правды ради: яко техъ есть царствие небесное.
блажени есте, егда поносят вам, и ижденут, и рекут всяк зол глагол на вы лжуще, мене ради:
радуйтеся и веселитеся, яко мзда ваша многа на небесех: тако бо изгнаша пророки, иже (беша) прежде вас.
Вы есте соль земли: аще же соль обуяет, чим осолится? ни во чтоже будет ктому, точию да изсыпана будет вон и попираема человеки.

(Зачало 11)
Вы есте свет мира: не можетъ град укрытися верху горы стоя:
ниже вжигают светилника и поставляют его под спудом, но на свещнице, и светит всем, иже в храмине (суть).
Тако да просветится свет ваш пред человеки, яко да видят ваша добрая дела и прославятъ отца вашего, иже на небесех.
(Да) не мните, яко приидох разорити закон, или пророки: не приидох разорити, но исполнити.
Аминь бо глаголю вам: дондеже прейдет небо и земля, иота едина, или едина черта не прейдет от закона, дондеже вся будут.
Иже аще разорит едину заповедий сихъ малых и научит тако человеки, мний наречется в царствии небеснем: а иже сотворит и научит, сей велий наречется в царствии небеснем.

(Зачало 12)
Глаголю бо вам, яко аще не избудетъ правда ваша паче книжник и фарисей, не внидете в царствие небесное.
Слышасте, яко речено бысть древним: не убиеши: иже (бо) аще убиет, повиненъ есть суду.
Аз же глаголю вам, яко всяк гневаяйся на брата своего всуе повинен есть суду: иже бо аще речет брату своему: рака, повинен есть сонмищу: а иже речет: уроде, повинен есть геенне огненней.
Аще убо принесеши дар твой ко олтарю и ту помянеши, яко брат твой имать нечто на тя:
остави ту дар твой пред олтарем и шед прежде смирися с братом твоим, и тогда пришед принеси дар твой.
Буди увещаваяся с соперником твоимъ скоро, дондеже еси на пути с ним, да не предастъ тебе соперник судии, и судия тя предаст слузе, и в темницу ввержен будеши:
аминь глаголю тебе: не изыдеши оттуду, дондеже воздаси последний кодрант.

[На церковно-славянском языке гражданским шрифтом – не смог быстро найти традиционный шрифт, который можно было бы использовать в емайле. – АБ]

Posted by: Alexandre Borovik | April 23, 2020

Poems for Lockdown VIII: Алексей Муравицкий

Алексей Муравицкий

Он пришел ко мне нежданно —
Лик судьбы.
Звезды плыли в небе плавно
И глядели с высоты.
В ожидании тревожном
Словно музыка текла.
Всё казалось мне возможным,
Все доступны времена.
Звезды молча вопрошали,
Звали ввысь
И молчанием шептали:
– Отрекись.
По дороге нашей белой в вышине
Пронесешься на крылатом ты коне.
– Не зовите меня странствовать с собой.
На земле – сыновий голос мой.
Вам сестру мою навеки отдаю,
Чтоб мерцала в неземном она краю.
Распахнул объятия свои,
Молвил тихо: “Свет-душа моя, лети.”

Posted by: Alexandre Borovik | April 23, 2020

Poems for Lockdown VII: Осип Мандельштам

Осип Мандельштам

Звук осторожный и глухой
Плода, сорвавшегося с древа,
Среди немолчного напева
Глубокой тишины лесной.


(Предложено Р.Х.)

Posted by: Alexandre Borovik | April 23, 2020

Poems for Lockdown VI: Арсений Тарковский

Арсений Тарковский

Жизнь, жизнь


Предчувствиям не верю и примет
Я не боюсь. Ни клеветы, ни яда
Я не бегу. На свете смерти нет.
Бессмертны все. Бессмертно все. Не надо
Бояться смерти ни в семнадцать лет,
Ни в семьдесят. Есть только явь и свет,
Ни тьмы, ни смерти нет на этом свете.
Мы все уже на берегу морском,
И я из тех, кто выбирает сети,
Когда идет бессмертье косяком.


Живите в доме – и не рухнет дом.
Я вызову любое из столетий,
Войду в него и дом построю в нем.
Вот почему со мною ваши дети
И жены ваши за одним столом –
А стол один и прадеду и внуку:
Грядущее свершается сейчас,
И если я приподнимаю руку,
Все пять лучей останутся у вас.
Я каждый день минувшего, как крепью,
Ключицами своими подпирал,
Измерил время землемерной цепью
И сквозь него прошел, как сквозь Урал.


Я век себе по росту подбирал.
Мы шли на юг, держали пыль над степью;
Бурьян чадил; кузнечик баловал,
Подковы трогал усом, и пророчил,
И гибелью грозил мне, как монах.
Судьбу свою к седлу я приторочил;
Я и сейчас, в грядущих временах,
Как мальчик, привстаю на стременах.

Мне моего бессмертия довольно,
Чтоб кровь моя из века в век текла.
За верный угол ровного тепла
Я жизнью заплатил бы своевольно,
Когда б ее летучая игла
Меня, как нить, по свету не вела.


(Рекоммендовано Е.Х.)

Posted by: Alexandre Borovik | April 9, 2020

Poems for lockdown

Beat lockdown blues with viral poetry: send your favorite poem to random people from your address book (use bbc: or a mass mailing of your email client), and ask them do the same (but include you on the list). Here is some stuff that I sent and received.

Федор Тютчев


Молчи, скрывайся и таи
И чувства и мечты свои –
Пускай в душевной глубине
Встают и заходят оне
Безмолвно, как звезды в ночи,-
Любуйся ими – и молчи.

Как сердцу высказать себя?
Другому как понять тебя?
Поймёт ли он, чем ты живёшь?
Мысль изречённая есть ложь.
Взрывая, возмутишь ключи,-
Питайся ими – и молчи.

Лишь жить в себе самом умей –
Есть целый мир в душе твоей
Таинственно-волшебных дум;
Их оглушит наружный шум,
Дневные разгонят лучи,-
Внимай их пенью – и молчи!..

A translation by Vladimir Nabokov:

Speak not, lie hidden, and conceal
the way you dream, the things you feel.
Deep in your spirit let them rise
akin to stars in crystal skies
that set before the night is blurred:
delight in them and speak no word.
How can a heart expression find?
How should another know your mind?
Will he discern what quickens you?
A thought once uttered is untrue.
Dimmed is the fountainhead when stirred:
drink at the source and speak no word.
Live in your inner self alone
within your soul a world has grown,
the magic of veiled thoughts that might
be blinded by the outer light,
drowned in the noise of day, unheard…
take in their song and speak no word.
Posted by: Alexandre Borovik | January 5, 2020

Reuben Hersh ( Dec 9, 1927 – Jan 3, 2020)

Reuben Hersh was a mathematician, unorthodox philosopher of mathematics, and a very kind and friendly man.

Posted by: Alexandre Borovik | December 17, 2018

How people learn: The case of Dr Brian May

I am obsessed with stories of how people learn, and of their motivation for learning. 

This is Dr Brian May, and his personal story that appears to be unbelievable: the interesting bit is  2”07 – 3”32 of the BBC film. Aged 7, Brian May got obsessed with stereo photography and very soon started to produce his own stereopictures. 

By the time he joined Queen, he was doing PhD in Astrophysics (he formally defended his PhD only years later).

Well, the story is quite believable to me. Once upon a time I knew a boy who, at age 14, was repairing TV sets (primordial by modern standards, black and white, vacuum tube) for all his neighbours in a small provincial town. This job required an oscilloscope; he made one from his family’s TV set by adding an additional circuit and a switch between the two modes of operation: as a normal TV set and as an oscilloscope. In later life, he became a guru and wizard of the black art of fine-tuning of accelerators of elementary particles and was in charge of one of the biggest one in the world.

And, of course, there was Richard Feynman who, as a boy, famously “Fixed radios by thinking“.

Back to Brian May: his PhD thesis is published, and the preface contains this passage:

“I inherited a Fabry-Perot spectrometer and pulse-counting equipment from Prof. Ring, and spent 18 months entirely rebuilding and updating both the optics and electronics, in preparation for obtaining essentially first viable set of radial velocity measuremnents, all around the elcliptic, of the Zodiac Light. The writing of my thesis was virtually complete in 2006, but the submission was deferred due to various pressures.” 

It is easy to believe that May, as the lead guitarist of Queen, did not have the same issues with scales of measurement as Nigel Tufnel of Spinal Tap famously had: 

This goes to 11…  [watch from 1”16].

Older Posts »