Posted by: Alexandre Borovik | August 29, 2008

What have astounded you?

With thanks to my dear old friend owl who sent me a link to avva’s Live Journal post whre he asked a simple question: what have astounded you? From many wonderful answers left by his readers, I picked the ones directly concerned wth mathematics. Here they go — I will translate them in English as soon as I have time. Believe me, it is an immensely impressive list.

  • Доказательство того, что в любом конечном поле число элементов – степень простого числа. Если F – конечное поле, то добавляя 1, 1+1, 1+1+1…, неизбежно приходим к нулю через p шагов, и p должно быть простым (если p = m*n, то “m единичек” умножить на “n единичек” будет нулевым произведением ненулевых чисел, а в поле это невозможно). Эти p элементов составляют подполе F_p, и на все поле F теперь можно посмотреть как на векторное пространство над F_p. У этого векторного пространства есть какой-то базис размером n, а значит, число элементов в нем равно p^n.Вот этот шаг, где мы берем найденный объект (подполе внутри поля) и неожиданно смотрим на все по-другому, привлекая на помощь казалось бы никакого отношения не имеющую теорию векторных пространств – для меня это было – волшебство, как если бы эти объекты у меня в руках замерцали и магическим образом превратились в что-то другое, в то же время оставаясь самими собой. Для меня это крохотное доказательство остается в уме примером творчества в математике, того, что математики без творчества не может быть. Впервые я его прочитал лет восемь назад в книге Вейля “Basic Number Theory” (кажется, я продвинулся в ней не более чем на 20 страниц в итоге).
  • Формулировка классической механики через принцип наименьшего действия (с лагранжианами). Я помню, как, когда впервые прочитал и осознал эту формулировку, подумал, что нахожусь в присутствии чуда, что мне невероятно повезло, что я узнал и понял что-то столь ослепительно истинное и прекрасное. Это было в первом томе Ландау-Лившица (и почти параллельно в “Механике” Гольдштейна, если память не изменяет).
  • Вывод суммы арифметической прогрессии. Запишем сумму два раза одну под другой в прямом и обратном порядке.
    S=1+ 2+…+ (n-1)+n
    S=n+ (n-1)+…+2+ 1
    сумма каждого столбика равна (n+1), столбиков n, но это в 2 раза больше искомой суммы. Значит, S=n(n+1)/2.
  • меня поражают простые примеры, иллюстрирующие сложные законы. Например, что вязание — это почти иллюстрация того, что прямая равномощна плоскости. или принцип хрупкости хорошего из “теории катастроф” Арнольда. Или решение простой задачи про четыре лодки переходом к третьему измерению. или знаменитый этюд рихарда рети. я понимаю, что перечисление вам почти ничего не даст — но если вдруг будет интересно (хотя тут уже столько всего написано), могу дать ссылки и т.д.
  • Про лагранжиан. В какой-то момент (кажется курсе на четвертом) давалось почти одновременно несколько предметов (механика, общие проблемы управления и еще что-то), в которых ключевым понятием был принцип наименьшего действия. Т.е. я увидел сразу несколько проявлений некоего фундаментального закона природы. Это меня насколько впечатлило, что, уединившись на какой-то тусовке с девушкой-гуманитарием, я начал грузить ее своими впечатлениями по этому поводу. ;)
  • Совершенная очевидности и в то же время невозможность понять доказательство теоремы о том, что мощности любых двух множеств сравнимы (т.е. множества равномощны либо одно мощнее другого). При том, что доказательство довольно короткое, и я мог его легко запомнить и воспроизвести, а также формально проверить правильность всех переходов, но “интуитивного понимания” никак не мог достичь. (Хм, мне казалось, что это утверждение называется теоремой Кантора-Бернштейна, но в википедии под эти названием описан другой факт: что |A|<=|B|, |B|<=|A| => |A|=|B|.)
  • Комплексные числа: основная теорема алгебры, а также свойство голоморфных функций — из “всего лишь” дифференцируемости следует бесконечно дифференцируемость и, далее, аналитичность. Ну также формула Муавра (в частности, e^{i\pi}=-1) и куча других фактов о комплексных числах.
  • Теорема Римана о сумме условно сходящегося ряда. Довольно простой, но потрясающий по красоте факт. Содержание: пусть ряд a1 + a2 + .. сходится условно (то есть, ряд abs(a1) + abs(a2) + … расходится). Тогда для любого наперёд заданного значения, вклюячая + и – бесконечность, можно таким образом переставить члены ряда, чтобы он сходился к этому значению.
  • Построение неизмеримого (по Лебегу) множества на окружности.
  • В 10-м классе, когда уже “знал всё” по частям, перечитал подряд всю геометрию (Киселёва? Нет.)
  • Контекстно зависимые и контекстно независимые грамматики, парсеры и конечные автоматы без памяти и с памятью.
  • Обобщённое понятие расстояния: что можно, например, ввести понятие расстояния между словами и вообще между любыми объектами.
  • Кантор. Идея о том, что бесконечности “бывают разные”, и что можно для них построить красивую и содержательную науку. Это классе в девятом нам на факультативе рассказали.
  • Комплексные числа и всё, что с ними связано.
  • Меня восхищают довольно простые вещи,Например
    То, что int(sin(x*x),x=0…infinity)= 1/4*2^(1/2)*Pi^(1/2);
    И более того, что
    int(sin(x*x*x)*x,x=0..infinity)=1/6*3^(1/2)

    *GAMMA(2/3);

    Функция осциллирует и даже растет, а простой интеграл в обычном смысле может сходиться.

    Или еще теорема о возращении Пуанкаре очень удивляет.

  • В дошкольном детстве помню поразило объяснение относительности временной шкалы, т.е. что нулевой год – это произвольная отметка на линии времени, а где у этой линии начало никто не знает.
  • Вывод законов Ньтона из квантовой механики.
  • Объяснение, как на самом деле отличить право от лево.
  • Только не смейтесь, но сложение простых дробей с разными знаменателями. Рассказал мне об этом папа, когда я задал ему такой вопрос лет в пять, и помню, как меня поразила до глубины души идея, что все дело в тривиальном наблюдении “1/2 – то же самое, что и 2/4″
  • Короткое доказательство неравенства Коши-Буняковского (с использованием детерминанта; есть в русской википедии в конце статьи).
  • Решение бесполезной, но известной задачки, про прямоугольники, у которых одна сторона целая, которая у [info]bgmt была.
  • Основы квантовой механики. Принцип неопределённости, волновая функция, уравнение шредингера.
    “Мир, оказывается, совсем не таков, каким кажется.”
  • Канторово множество
  • Совпадение инерционной и гравитационной массы в ОТО
  • Компилятор языка, написанный на этом же языке.
  • иррациональные числа
  • >принцип наименьшего действияо, да. что-то такое в голове резко на места встало. вообще я бы назвал классическю механику самым красивым из того, что человечество создало.мои варианты:
    1) Теорема Такенса и основанные на ней методы восстановления многомерных фазовых потретов динамических систем (точнее – топологичски эквивалентных исходным) по одномерным временным рядам. Сюда же – оценки размерности систем по одномерным рядам.
  • Алгоритм RSA
  • Парадокс Эйнштейна-Подольского-Розена
  • Среди идей, поразивших меня до глубины души, хочу рассказать о такой.Есть проблема у движущихся колесных повозок, что при повороте внутреннее колесо должно проехать меньше (в метрах), чем внешнее. Для ее решения у автомобилей есть достаточно сложное устройство – дифференциал, – или вообще несвязанные между собой механически оси левого и правого колес.Но на железной дороге, из соображений запаса прочности и простоты изготовления, оси вместе с колесами просто монолитны! Допускать проскальзывание колес по рельсам – на порядок увеличивать износ и тех и других.Так вот, идея там в том, что рабочая поверхность колеса (которой оно катится по рельсу) не цилиндрическая, а слегка коническая, сужающаяся наружу, а у рельса (по кр.мере нового) – выпуклая, а не плоская.
    когда такая монолитная ось вьезжает в поворот, внешнее колесо начинает катится по чуть более длинной окружности, чем внутреннее, что приводит к разному проезжаемому расстоянию при одинаковой угловой скорости.

    Изящность этой идеи, ее потрясающая эффективность при столь же потрясающей (на мой вкус) простоте реализации меня очень впечатлили.

  • потрясающе красивое надо вспоминать..а вот такое, от чего захватило дух и все стало на свои места – это теорема Гёделя о неполноте.
  • о, вот еще вспомнил – доказательство теоремы Пифагора методом размерностей
  • recursion — I still remember how it felt to finally understand what it means to define a function in terms of itself. It didn’t help that everyone around me seemed to know it already or understand it much quicker, but it was beautiful when I finally got it.
  • Парадокс Кантора
  • простенькая теорема о том, что есть бесконечно много простых чисел.
  • Переход к собственной системе отсчета летящего электрона в СТО. Поскольку все системы отсчета эквивалентны, то в собственной, где его скорость равна нулю… что именно доказывалось, уже не вспомню, но сам переход и использование принципа эквивалентности меня потряс (где-то в фейнмановских лекциях).
  • осознание бесконечности и того, что четных чисел “столько же”, сколько всех: мне было лет 5-6, когда папа мне это доказал на простом примере. и позже уже, тоже красивое доказательство, что бесконечности бывают разные и иррациональных чисел бесконечно много, но не просто бесконечно, а “больше”, чем бесконечных рациональных.
  • Регулятор Уатта меня поразил в детстве.
  • Теорема Эйлера из теории чисел
  • Ярчайшее впечатление осталось от одного вопроса из учебника геометрии, который шёл как “дополнительный”. (Ответов не приводилось.) Формулировка была очень простая: “что такое направление?”Сам я догадаться до правильного ответа не мог в принципе, потому что просто не знал, что так можно определять. Сама конструкция была для меня новой, непривычной. Мне потом объяснили. Я жутко впечатлился, хотя вроде бы совершенно формальный трюк.Примерно такое же воздействие на меня оказало то, как в теории множеств определялось понятие “упорядоченной пары”. Это я узнал уже на первом курсе МГУ от кого-то, а в школе я даже не задумывался над самим вопросом!

    Многим может это всё показаться странным — типа, а какая от этого всего “польза”? Но у меня даже не возникает такой вопрос. Причём всё сводится даже не к внутренней красоте, а к вере в то, что трудности какого-то рода разрешаются предельно элегантно и нетривиально.

  • Рекурсивый вызов функции в Лиспе
  • Топологическое доказательство того, что простых чисел бесконечно много (автор — Гилель Фюрстенберг).Рассмотрим в множестве целых чисел все подмножества вида S(a,b)={a*n+b|n \in Z} (попросту говоря, арифметические прогрессии). Нетрудно проверить, что они составляют базу топологии на Z, причем сами множества S(a,b) будут в ней и открыты и замкнуты. Очевидно, в этой топологии все открытые множества бесконечны.Предположим теперь, что простых чисел конечно много.

    Рассмотрим объединение всех S(p,0), где p простое. Все такие S(p,0) замкнуты, их конечно много, значит, наше объединение замкнуто, а его дополнение открыто. Но это дополнение равно {-1, 1}, так как только у плюс-минус единицы нет ни одного простого делителя. А конечные множества не могут быть открытыми.

  • А, вот ещё, кстати, вспомнил, из квантовой механики одну штуку, на основе которой я дипломную прогу писал.Берётся какая-нибудь простенькая система, электрон в потенциальной яме, например. Если мне не изменяет память, единственным требованием была независимость потенциала (то есть формы ямы) от времени. И в уравнение Шрёдингера для неё подставляется мнимое время. Почему бы и нет, действительно? А по мнимой оси времени очень весело и забавно, практически вся комплексность куда-то исчезает, остаётся стандартное уравнение теплопроводности, с пространством решений раскладывающимся по базису exp(-E*t) (если мне совсем уж не изменяет память, E – это энергия), так что простой запуск численного метода с постоянной перенормировкой даёт состояние с минимальной энергией, то есть steady state (потому что все остальные экспоненты уходят в бесконечно малое). Если есть желание, можно запустить ещё раз, взяв в качестве начального распределения ортогональное найденному (и постоянно поддерживая ортогональность), тогда получится первое возбуждённое состояние, и так далее.Вот эта подстановка мнимого времени меня восхитила в своё время.
  • 1. Алгоритм вычисления определенных интегралов по вычетам.
    2. Связанное с этим же ограничение на радиус сходимости рядов.
    3. Формула Остроградского-Гаусса
    3. “Правило печника” (c) Павлов Б.С. – индекс дефекта симметричного оператора (~количество дискретных собственных чисел) на ограниченной ломаной области возрастает только на внутренних углах.
    Дым идет вверх по дымоходу ламинарно, описываясь ур-нием Лаплалса – симметричным опратором, наличие внутреннего нескругленного угла в дымоходе приводит к возникновению звуковых колебаний плотности дыма. Один угол – одна частота. В итоге дилетант вместо выхода дыма имеет резонатор :)
    Плохо:
    | |
    | |___
    L_____
    Хорошо:
    | |
    | \__
    L_____
  • Что произведение чисел, на единицу меньшего и на единицу большего данного числа, равно квадрату этого числа минус один. И что это можно доказать, написав (n-1)(n+1) и раскрыв скобки. (Первое я обнаружил самостоятельно, перебирая в уме таблицу умножения; второе мне объяснил отец. Лет 7 мне тогда было.)
  • Доказательство неразрешимости задачи об удвоении куба (невыразимости корня кубического из двух в квадратичных радикалах), основанное на мультипликативности степени расширения полей в башнях. (Если поле M содержит поле L, а последнее содержит поле K, то размерность M как K-векторного пространства равна размерности M как L-векторного пространства, помноженной на размерность L как K-векторного пространства.)
  • Лист Мёбиуса, о котором я впервые прочитал в детской энциклопедии. Не помню уже, сколько лет мне было. 5? 6?
  • Рекурсия, а также программы, печатающие собственный текст. Одной формулировки задачи было достаточно.
  • Преобразование Бэрроуза-Уилера (BWT). Красота неописуемая.
  • Доказательство иррациональности квадратного корня из 2.
  • Квантовая механика Гейзенберга-Шредингера-Дирака.
  • Фейнмановский интеграл по траекториям.
  • Семиотика. ДНК. Топология.
  • расслоение Хопфа
  • Алгоритм решения линейных ОДУ с постоянными коэффициентами (когда решение ищется в виде суммы экспонент). Почему-то давался он без особенного объяснения, как кулинарный рецепт, так что последующее прочувствование почему собственно экспоненты крайне порадовало.
  • Идея сходимости ряда. Просто сам факт что сумма бесконечного кол-ва чисел может быть конечной.
  • sweep line алгоритм для построения вороных диаграмм;
    сама идея того, что суффиксные деревья можно строить за линейное время;
  • Вывод физических законов сохранения из свойств симметрии пространства.
  • Множество алгоритмов и теорем; из недавнего – доказательства теоремы Брауэра о неподвижной точке через лемму Шпернера.
  • Теория суперструн
  • Рождение порядка из хаоса и его описание в нелинейной динамике
  • Кончик тени в солнечных часах движется не по кругу, а по прямой (пересечение двух плоскостей – плоскости поверхности земли и плоскости, в которой движется солнце).
  • о, интересный вопрос!
    много чего… самое раннее, что помню: Фейнмановские лекции по физике, в школьные годы я ими зачитывалась, спала с томиком под подушкой. во первых, для меня было откровением что можно ТАК писать физику! а один момент помню подробно, как “эврику”: подметая пол, размышляла, зачем комплексные числа в физике (ну как же, физика описывает реальный мир, а тут мнимые величины!), и вдруг меня озарило! вдруг всё как бы стало на своё место, я это как будто увидела, даже почувствовала! сегодня уже не помню сути этого понимания, помню только ощущение.
  • Сейчас приходит в голову тоько как в детстве, проходя с папой мимо строительного подъемного крана, спросила почему лестница сделана не одна длинная прямая до самого верха, а зигзагом – то есть надо после каждого пролета пройти по площадке в другой конец к началу следующего пролета. Папа сказал что это на случай, если крановщик сорвется, чтобы он упал вниз только на один пролет, а не всю высоту крана.
    Меня тогда эта идея очень сильно поразила.
  • Сложение столбиком.
  • Как банки генерируют денежную массу.
  • Формулировка квантовой механики в векторах и матрицах (и последствия для взглядов на мир).
  • Доказательство, что простейшая система с обратной связью типа “паровой котел – регулятор Уатта” при мощностях паровоза больше некоторой границы, ведет не к устойчивости а к самораскачиванию — и взрыву. И что “погасить” это самораскачивание можно, только введя между паровым котлом и центробежным регулятором Уатта дополнительные и, на первый взгляд, очень глючно устроенные передаточные механизмы.То есть, вот “это глюкалово посередине” на первый взгляд непонятно зачем, но без него — взрывается.Это интуитивное обоснование необходимости многих вещей в социуме — философии, например.
  • Доказательство о функции, которую можно аксиоматически определить, но которую нельзя посчитать на машине Тьюринга.
  • Чёрная дыра, сингулярность, горизонт событий.
  • Yang-Mills (gauge theory)
  • возможности, предоставляемые употреблением классов в C++
  • рекурсия с НУЛЕВОГО шага
  • теорема Силова
  • возврашение к дискретным переменным на уровне квантовой механики
  • В девятом классе я узнал о равномощности [0;1] и R. Надолго захватило дух.
  • В десятом классе неизгладимое впечатление произвёл тот факт, что множество точек континуальной кратности двумерной броуновской траектории всюду плотно на плоскости. Это вообще было прекрасное время, я встречал много всякой красоты. С тех пор стало только хуже.
  • Остальные естественнонаучные впечатления не были такими яркими. Хотя… при первом знакомстве показалась удивительной связь между унитизацией банаховой алгебры и одноточечной компактификацией соотв. гельфандова спектра.
  • Много чего. Из того что еще не писали могу назвать например парадокс Банаха-Тарского.
  • Например, соответствие между кольцами и пространствами.
  • Игла Бюффона.
  • Невозможность найти формулу, которая бы вычисляла простые числа, несмотря на то, что это кажется так просто. Можно переформулировать точнее: само определение простых чисел, казалось бы, подразумевает простую и понятную закономерность их распределения, и при этом такая закономерность то ли не существует, то ли очень сложна. В общем, это самый главный пункт моего списка, а так его можно ещё очень долго продолжать.
  • 10я проблема Гильберта
  • Существование базиса (Гамеля) в лин. пространствах. Когда понимаешь, что этот факт зиждется на самих основаниях и никакого отношения к линейности и к алгебре вообще не имеет.
  • Функан. Самая математическая математика.Ткну только в 2 момента, хотя было их больше.1. Критерий Коши сходимости последовательности.

    Только не в математическом анализе, а в функане.

    Шарахнуло именно то обстоятельство, что критерий этот я знал уже очень давно – и как достижение человеческой мысли отнюдь не воспринимал. Просто на материале действительных чисел не вполне видно, в чём красота. Но вот когда мы переходим в другие пространства, критерий Коши выстреливает – вдруг выясняется, что мы можем определять наличие предела, *глядя только на саму последовательность*.

    2. Теорема о вложенных шарах. Причём один аспект.

    Если в полном метрическом пространстве дана бесконечная последовательность вложенных шаров, *радиусы которых стремятся к 0*, то она имеет непустое пересечение.

    Я своими руками показал необходимость выделенного условия. То есть построил пример, когда а) пространство полное б) шары вложенные в) радиусы к 0 НЕ стремятся – и г) пересечение пустое!

  • Много разного…
    …Теорема Котельникова. До сих пор удивляет…
    …Принцип неопределенности…
    …Физический смысл математических формул…
    …Не один раз цепляло и даже ослепляло, когда из разрозненных кусочков выстраивается цельная картина. Особенно, когда пропустил или не понял начало, старательно пытался осмыслить продолжение и целого никак не получалось. А потом, когда первый элемент становится на место в результате одной фразы,
  • Еще: трансфинитные числа и трансфинитная индукция.
  • доказательная геометрия
  • простые арифметические манипуляции, полуавтоматические, примитивные, сложение-вычитание в столбик, перестановка слагаемых (помойму это был первый детский восторг), общие знаменатели, сумма ряда или как там ее – кароч вся детская математика
  • Лист Мебиуса – бутылка Клейна – проективная плоскость. Лет в 13 или 14 читала какую-то достаточно простую книжку про топологию. Это было волшебно. Теперь не могу её отыскать.
  • Логический квадрат (красота в том, что четыре утверждения могут выразить почти все высказывания естественного языка)
  • Силлогистика и булева алгебра(красота формальной логики и четкость порождаемых ею суждений. Прекрасный способ проверки истинности-ложности)
  • Логарифмическая линейка – умножать можно, просто складывая!
  • Доказательство неклассифицируемости моногообразий в размерностях 5 и выше. Идея в том что строятся многообразия с нулевыми гомологиями и с фундаментальной группой заданной произвольной конечной презентацией. Далее по теореме о h-кобордизме (в данном контексте – по гипотезе Пуанкаре в размерности выше 5и) такое многообразие является сферой тогда и только тогда когда группа тривиальна. А решить вопрос о тривиальности группы нельзя по теореме Маркова, которая сводит его к проблеме остановки Тьюринга.
    Совмещение Тьюринга и Пуанкаре в одной задаче – результат о “невычислимости геометрии”.
  • Всяческие двойственности, зеркальная симметрия в частности.
  • Факт, что (->) в Хаскелле этоа) конструктор типа
    б) монада
  • А можно не о науке?
    Мое самое яркое воспоминание, отчего-то, решение простенькой детской загадки:
    Кошечка – 3
    Лягушечка – 3
    Петушок – 8
    Лошадка – 5
    Собачка – 3
    Осленок – ?

    Чего я туда не подставлял, и количество ушей и половину конечностей… но когда в конце концов озарило, необычность вывертывания сознания, просто повергла в экстаз =)

  • If you like lagrangian formalism in mechanics, you may adore it in classical thermodynamics, for the beauty of canonical ensamble where the dual constraints are introduced for indiscriminablity of subsystems. J.Gibbs was genius physicist. 2. Many astonishing things are refered by “Turing Omnibus” by A.K.Dewdney.
  • когда сложный математический расчёт со всякими там интегралами предсказывает то, что действительно происходит в природе – всегда удивляюсь, не помещается в голове.
  • мат.анализ, определение предела. удивительная конструкция.
  • - чудо математики, например e^(pi*i) + 1 = 0, счетность Q и несчетность R, чудеса дифференциального и интегрального исчислений
  • Корпускулярно-волновой дуализм, квантовая механика.
  • Из математики – игра Жизнь. Еще – компрессия данных, как сама идея о том, что информацию можно сжать, так и некоторые частности – например, арифметическое кодирование и Burrows-Wheeler transform.
  • Неконструктивное доказательство того, что существуют два иррациональных числа, такие, что одно в степени другого есть число рациональное. Пусть A = корень квадратный из двух.

    Тогда, ecли A в степени А рационально, возьмем в качестве требуемой пары A и A.
    Ecли же A в степени А иррационально, возьмем в качестве пары “A в степени A” и A

  • Очень много безумно красивого в математике нам было рассказано на первых двух курсах университета (специальность „прикладная математика”), вот только сходу как-то и не приходит ничего в голову. Вот так вот, ощущения красоты остались, а подробности пропали, правда с лёгкостью их можно восстановить, открыв конспекты и книги по теме. В целом, по воспоминаниям: классическая теория управления буквально захватывает дух.
  • Теорема о повороте стола: стол, стоящий на четырёх ножках можно повернуть вокрук вертикальной центральной оси так, чтобы он перестал качаться и встал устойчиво. Очень люблю применять знание этой теоремы :-) Оригинальная статья: “On the stability of four legged tables”, идею доказательства я пересказал здесь.
  • Хаос, возникновение сложного поведения в простых системах (иконку видели?); задача трех тел, топология, аттракторы, а клеточные автоматы сильнее всего;
  • Теория катастроф и принцип неопределенности Гейзенберга.
  • Хех, вот головоломка! Троое мудрецов поспорили о том, кто из них умнее и попросили четвертого их расссудить. Тот сказал, что у него есть три белые и две черные шапки. Потом в темноте одел надел на каждого белую шапку и зажег свет. Получилось, что каждый видит белые шапки соседей, но своей не видел. Победит тот, кто узнает, какая шапка на нем. Ну, они подумали и один сказал ‘белая’. Нас интересует ход его мыслей.
  • 1) То, что природа подвергается описанию и это описание способны понять и генерировать люди. Это тоже самое, если бы компилятор компилировал самого себя.
    2) Соответствие дробно линейному преобразованию комп. плоскости движений и вращений сферы римана. ( не очень удивительный факт, но произвел впечатление, т.к. заметил его самостятельно )
    3) Есть игра про соединение точек на плоскости, где сначала берется совершенно произвольный набор точек, а шагов через 1000-10000 получаем треугольник серпинского(или салфетку серпинского, не помню). Поразительно то, что из произвольных начальных данных получаем одну и ту же картину.
  • 1. Доказательство того, что множество всех точек на отрезке несчетно. Еще в детстве удивило.

    2. Некоторые искусственные молекулы. Ну, фуллерены – их все же сначала открыли экспериментально. Но молекулы с необычной топологией – катенаны, ротаксаны, борромеевы кольца, узлы – это возникло чисто из воображения и при этом очень красиво.

    3. Триплетный код, комплементарность и репликация ДНК. Это не совсем идеи, скорее понимание реально существующих вещей, но уж очень просто и красив

  • Меня до сих пор не перестаёт удивлять сочетание двух математических чудес: (а) богатство различных структур на множестве комплексных чисел и (б) вездесущность аналитических объектов в мире. Из этого сочетания, видимо, проистекает добрых две трети математических и физических чудес, помянутых более расторопными откликаторами.
  • Факт нахождения в самых разных местах и временах людей, которые о каких-то, известных, вроде бы, только мне вещах, думают то же, что и я. Или думают так, как мог бы думать и я, если умел бы. Конечно, после кундеровского “Людей много, а жестов мало” (кстати, принцип Дирихле в 7-м классе тоже запомнился) это явление перестало казаться удивительным, но по-прежнему остается очень приятным.
  • 1. Доказательство того, что шахматную доску с выброшенными клетками a1 и h8 нельзя покрыть 31 доминошкой (прямоугольник 2×1) через раскраску (доминошка покрывает одну черную и одную белую клетку, а в нашем шестиугольнике имеется 30 белых и 32 черных).

    2. Доказательство Кантора существования трансцедентного числа (вводим понятие мощности и доказываем, что множество действительных чисел несчётно, а множество алгебраических чисел счётно). В отличие от доказательства Луивилля (которое по-своему ценно, он привел явный пример), доказательство Кантора совершенно сюрреалистично… Неспроста он умер в психиатрической клинике…

    3. Теорема Гудстейна (Goodstein). Это явный пример теоремы, которая верна, но доказать это нельзя (используя общепринятые способы аксиоматизации действительных чисел и правило вывода). Сам факт существования такой теоремы (да ещё вполне простой) до сих пор наводит на меня оцепенение… Бог создал мир сложным…

    Коротко суть теоремы: предъявляется алгоритм, по которому можно построить следующий член последовательности, если известен его номер и предыдущий член. Алгоритм немного громоздкий, но вполне ясный. Теорема Гудстейна состоит в том, что какое бы число мы ни взяли в качестве первого члена, всё равно в последовательности рано или поздно встретится 0 (подробнее по-русски).

    Как это понять, что теорема верна, но доказать её невозможно? Тогда в каком смысле можно утверждать, что теорема верна? И как можно доказать, что эту теорему доказать невозможно? И откуда, собственно, при таких обстоятельствах есть уверенность, что теорема верна? Всё это производит неизгладимое впечатление и сегодня…

    4. Метод придумывания тождеств, связывающих суммы рядов, через подсчёт их с очень большой точностью и переборные попытки найти линейную комбинацию с рациональными коэффициентами. Количество переходит в качество – с помощью тупого, но быстрого компьютера нашли тождества, которые ранее были неизвестны. Часть найденных тождеств научились доказывать лишь методами, которые не позволяют такое тождество придумать или обобщить на бОльшую степень. А некоторые тождества вообще доказывать не научились, лишь проверить с высокой точностью. Думаю, всё это только начало – на нашей жизни будет море теорем, которые скорее всего верны ибо проверены в 100 миллионах случаев, но доказательства у них нет и не предвидится.

    Источник: David H. Bailey, “New Math Formulas Discovered With Supercomputers”

  • Существование ограниченных множеств у которых нет минимального элемента.

    Кубик Рубика.

    Построение структур произвольной сложности с помощью указателей.

  • Доказательства несчетнсти действительных чисел
    лист Мебиуса
    “Жизнь” Конвея
    Из профессионального:
    Пропп, “Морфология сказки”
    Работы Березкина о древних связях мифологии типа http://www.ruthenia.ru/folklore/berezkin11.htm
  • ) (Link)
    Теорема Геделя. Даже не сама теорема, а то, что из нее следует.
  • ОТО,рекурсия,фракталы,само понятие бесконечности,односторонние поверхности
  • понятие “плюс-минус бесконечность”

    параллельные прямые пересекаются в бесконечности

  • Идея ренормгруппы. В смысле, насколько она в общем проста и естественна, даже для технических наук.

    Преобразование Радона, которым восстанавливают томограмму по совокупности проекций.

    Строчка “раскинулось поле по модулю пять” в известной песенке.;) Малая теорема Ферма и алгоритм RSA.

  • Четвертое измерение.
    Однажды в какой-то книжке я увидела картинку с трехмерной разверткой гиперкуба, поняла, как оно складывается одно в другое, и вдруг увидела четвертое измерение (а не просто приняла на веру, как очередную математическую абстракцию). Уже без всяких трудностей представила себе искривление пространства. Мир стал намного объемнее!
  • Задача: поменять местами значение двух ячеек памяти, не используя дополнительную память.
    Решение:
    A=A+B
    B=A-B
    A=A-B
  • Лента Мебиуса.:)
  • 1. После 10 класса читал книгу по Фортрану, поразило, что можно просто написать x=sin(y) и все будет вычислено.
    2. Примерно через год пытался осилить ассемблер, мучался и не понимал. И вдруг пришло осознание, что одна и та же битовая последовательность может кодировать и число, и команду.
    3. Помню, как квантовая механика уложилась в голове после осознания теории операторов в Гильбертовом пространстве.
  • Тот факт, что различные формализации понятия «алгоритм» определяют в конце концов один и тот же класс функций, называемых вычислимыми функциями. Более того, необыкновенен тезис Черча, который говорит, что любая интуитивно вычислимая функция является вычислимой.
About these ads

Responses

  1. Google Translate can be used to produce rough translations of Russian web pages:

    http://translate.google.com/translate?u=http%3A%2F%2Favva.livejournal.com%2F1948497.html%3Fpage%3D6%23comments&hl=en&ie=UTF-8&sl=ru&tl=en


Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s

Categories

Follow

Get every new post delivered to your Inbox.

Join 78 other followers

%d bloggers like this: