Mathematics under the Microscope

A talk under this title will be given by Nick Trefethen (University of Oxford) at my School’s Colloquium on 11 June 2008, 2:00 pm, Alan Turing Building, G.205. The abstract says

Numerical algorithms are traditionally applied to functions discretized in space, but one may ask what their analogues would be if we could compute with continuous functions directly. This question is no longer just theoretical, thanks to the development of the chebfun system in object-oriented MATLAB. We will show the system in action and ask whether it can live up to the vision of “computing with the feel of symbolics but the speed of numerics”.

This is a very interesting story with some potential implications for the way we teach calculus (see previous discussions, Donald Knuth: Calculus via O notation and Calculus without limits), even if the project appears to be concerned with a technical enhancement of MATLAB.

This becomes clear from Nick Trefethen grant application, available on Web:

Conventional MATLAB is built on the most advanced algorithms for vectors and matrices; this is a source of its power, since so much of scientific computing in the end comes down to numerical linear algebra. The idea of chebfun computation is to create a MATLAB class that behaves syntactically like the usual MATLAB vectors. The difference is that with chebfuns, the usual vector commands in MATLAB are overloaded with analogues for continuous functions.

For example, the command

>> f = chebfun(’real(airy(10*x))’);

calls the chebfun constructor to produce a chebfun object that will behave, up to the usual IEEE double machine precision of about 16 digits, like the Airy function .

How is all this done? The mathematical basis of the chebfun system is a pair of closely related ideas:

• Polynomial interpolation in Chebyshev points implemented by Salzer’s barycentric formula
• Chebyshev expansions implemented by the Fast Fourier Transform

These are combined together with state-of-the-art numerical algorithms for integration, zero finding and other operations. In particular, two features that make the system fast and accurate are

• Adaptive determination of the number of points needed to represent each function to about 16 digits
• Zero finding via eigenvalues of Chebyshev companion matrices with divide-and-conquer recursion.

The result is a system with, we have found, rather astonishing capabilities. For example, the Airy function above may seem complicated, but its chebfun representation to 16-digit precision is a polynomial of degree just 59. The more irregular function

>> f = chebfun(’sin(3*x)+.5*exp(x).*sin(100*x./(1+3.*x.^2))’)

plotted below only needs a polynomial of degree 237. Even a function represented by a polynomial of degree 100,000 is integrated by sum to full accuracy on our workstation in 0:2 secs.

Some of the mathematics underpinning the extraordinary speed, accuracy, and stability of high order polynomial interpolants is old, and some of it is new, but it is safe to say that until the arrival of the chebfun system few people were aware of these possibilities. The investigations proposed here, despite their classical foundations, will explore poorly charted territory even from an algorithmic point of view. From a software point of view they are completely new.

Basically, a function on a segment is replaced by its appropriate Chebyshef polynomial approximation, but, if it has name, it retains that name.

Now, let us look at related issues in methodology of mathematical teaching. Assume that chebfun approach became an industry standard for (semi-)numeric computations, and you have to teach a calculus course for engineering students. Should you pay attention tot he following two metamathematical factors?

• The way they will be used by your students, functions become intensional objects with names, not extensional entities.
• Uniform convergence, not a limit at a point, starts to dominate the field.

Isn’t that exactly the setup for Donald Knuth’s Calculus via O notation and Calculus without limits?

My alma mater, FMSh, a preparatory boarding school of Novosibirsk University, celebrates 45th year of its work. My physics lecturer at the School, Evgenii Bichenkov, republished a short article, Физико-математической школе - треть века, written 10 years ago. I discovered it only now; it is a remarkably interesting document, and I promise to translate it in English as soon as I have free half an hour. To wet the reader’s appetite, one line:

A student should have free time just to think: what on the Earth has he actually been taught?

The document is a manifesto of meritocratic eliticism in education, a recipe for building a highly selective and academically intensive school. [A Google search for "meritocratic eliticism" leads mostly to two types of materials: (a) Educational system of Singapore; (b) Barak Obama. Both have no relevance to what Bichenkov says.]

[...] Что нового в практику школьного образования внесла школа и каковы главные результаты ее деятельности в обучении основам наук на школьном уровне? [...]

Итак, что дал отбор учеников? Я глубоко убежден, что сам факт отбора и создания детского коллектива на его основе благоприятен для ребенка. Попав из своих школ, где все роли и места уже распределились и все устоялось, в новую среду, дети начинают свое внутреннее соревнование за распределение по шкале своей ценностной иерархии. Не делать этого они не могут - такова их природа и таков возраст. Важно, что в этом возрасте им предложены достойные нравственные и человеческие ценности для соревнования и показаны хорошие примеры. Кажется, нам в Новосибирской ФМШ это удалось.

Далее. В какой мере отбор произошел по истинным способностями? Соответствуют ли его результаты провозглашенным целям? Здесь я не могу быть однозначен в выводах. Во многом отбор все еще связан со случайностями. Очевидно влияние на выбор развитие личных устремлений ребенка семьи, учителя, друзей, знакомых, а на результаты олимпиад спортивности характера, настойчивости, уровня взрослости, наконец. И, конечно, при отборе проявляется личность учителя, экзаменатора.

Здесь встает вопрос о выборе учителя для отобранных детей. С самого начала мы выдвинули одно ограничение на отбор учителя - учитель должен быть научным работником СО АН. При всей кажущейся слабости это ограничение оказалось довольно тонким и верным признаком отбора, оставив в стороне отдельных претендентов на место учителя ФМШ, не имевших кроме, страстного желания попасть в штат школы, никаких других объективных данных для работы с одаренными детьми. Оказалось, что требование быть научным работником в условиях Академгородка почти полностью соответствует требованию личностной состоятельности как в профессиональном, так и в человеческом плане. Мы живем своим особым сообществом, знаем друг друга в лицо и по работе и обязаны постоянно считаться с этим. Нам повезло, что от основания Академгородка ученого здесь судят по его делам, и судят требовательно. В наших условиях плохой работник просто не мог стать преподавателем ФМШ, а если такое случалось, то по ошибке администратора и на очень короткое время. Я не знаю, как быть с отбором учителей в иных местах, не в Академгородке. Но из нашего опыта я на первое место выдвину критерий отбора по уровню личных достижений в предыдущей работе: если это инженер - то удачливый, с идеями и достижениями, если учитель - то фантазер и любимец школы и тоже с результатами, если студент - то отличник и выдумщик, и обязательно “хороший парень” среди сокурсников. А штат школы должен быть открытым, с живым обменом людей, с протоком. В нем должны собираться очень разные по своим интересам и личностным особенностям люди. Если угодно, при их подборе должен работать принцип взаимодополняемости. В Академгородке все получилось очень естественно. У нас несколько разных школ физики. И представители всех из них собрались на кафедре физики в ФМШ, обогащая друг друга знаниями и сотрудничая. Сначала это произошло случайно, так как работа в школе ни по оплате, ни по престижу не шла ни в какое сравнение с университетом или любым вузом. [...]

Я высказал свои суждения о двух фундаментальнейших вопросах для специализированной школы: “Кого учить?” и “Кому учить?”. Остался третий: “Чему учить?”. Обсужу его на примере физики, хотя рискну сделать несколько общих выводов. В практике нашей учебной деятельности мы выработали несколько “граничных условий”, определяющих во многом построение наших учебных курсов. В формальных временных рамках так называемого учебного плана основными из них оказались следующие принципы:

Короткий срок обучения: один или два года. Наши попытки работать в условиях интерната в течение трех лет следует признать неудачными.

Короткие семестры. Занятия осенью идут примерно до 10 декабря, затем две недели зачетов и экзаменов и три недели каникул (детям обязательно надо отдохнуть от общежития). Второй семестр: с 20 января по 20 мая, опять экзаменационная сессия и летние каникулы. Кроме того, бывает несколько нерабочих дней в ноябре и мае.

Короткие недели. ФМШ при всей напряженности занятий работает по пятидневной неделе.

Короткие лекционные курсы. Ни один лекционный курс не может занимать более двух часов в неделю. Общее число обязательных занятий в настоящее время не может превышать 32 часа в неделю.

К этим ограничениям мы пришли далеко не сразу и совсем не прямым путем. Начало нашим поискам положил опять же М.А. Лаврентьев, который высказал несколько афористическое требование: “Ученик должен иметь свободное время, чтобы подумать, чему же его учат!”

Содержание учебных курсов по физике в физматшколе сформировалось в результате деятельности большого количества очень разных преподавателей. Они были из разных институтов, профессионально работали в различных областях физики, сильно отличались по возрасту. Поставленные в жесткие временные рамки и стремясь отразить свои личные научные пристрастия, эти люди могли пойти по пути упрощения в изложении научных знаний и придти к примитививной популярщине науки, от которой пострадали все стандартные школьные учебные курсы. Другая опасность была в глубоком изложении лишь нескольких тем. Поплавав между этими крайностями, мы провели выбор лишь самого важного и самого существенного в современных научных знаниях. В результате наши обязательные учебные курсы содержат лишь фундаментальные знания. И оказалось, что этих знаний очень немного, логика их использования почти очевидна, а прозрачность и глубина внутренних связей поразительна. Как самую высокую оценку успеха нашей программы обучения приведу слова одного из бывших учеников ФМШ, которому уже исполнилось сорок и научная судьба которого сложилась очень успешно. Он сказал: “На физфаке НГУ я изучал детали физики. Все основное, ее стержень и внутреннюю логику я уловил в ФМШ”.